Question

3．变量x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，求z=2x-3y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答 解：由z=2x-3y得y=$\frac{2}{3}x-\frac{z}{3}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=$\frac{2}{3}x-\frac{z}{3}$，由图象可知当直线y=$\frac{2}{3}x-\frac{z}{3}$，过点C时，直线y=$\frac{2}{3}x-\frac{z}{3}$截距最小，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y=-3}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（5，2），
代入目标函数z=2x-3y=10-6=4；
当直线y=$\frac{2}{3}x-\frac{z}{3}$，过点A时，直线y=$\frac{2}{3}x-\frac{z}{3}$截距最大，此时z最小，由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{22}{5}}\end{array}\right.$，
即A（1，$\frac{22}{5}$），
此时z=2×1-3×$\frac{22}{5}$=-$\frac{56}{5}$．
∴目标函数z=2x-3y的最小值是-$\frac{56}{5}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．