Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{a^2}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别是F₁，F₂，P是双曲线右支上的一点，若|PF₂|=|F₁F₂|且∠PF₂F₁=120°，则双曲线的离心率等于$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 运用余弦定理可得|PF₁|=2$\sqrt{3}$c，再由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即为2$\sqrt{3}$c-2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，∠PF₂F₁=120°，
即有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²-2|PF₂|•|F₁F₂|cos∠PF₂F₁
=4c²+4c²-2•4c²•（-$\frac{1}{2}$）
=12c²，即有|PF₁|=2$\sqrt{3}$c，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即为2$\sqrt{3}$c-2c=2a，
即有c=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$a，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．