Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}+{n}^{2}+n}{n}$．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列；
（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=2ⁿn²-n³，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}+{n}^{2}+n}{n}$，可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，即可证明．
（2）由（1）可得：a_n=n²．代入a_nb_n=2ⁿn²-n³，可得：b_n=2ⁿ-n．再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}+{n}^{2}+n}{n}$，∴a_n+1=$\frac{（n+1）}{n}{a}_{n}$+（n+1），∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列，首项与公差都为1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，∴a_n=n²．
∵a_nb_n=2ⁿn²-n³，
∴n²b_n=2ⁿn²-n³，∴b_n=2ⁿ-n．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．