Question

19．已知各项均为正数的数列{a_n}，其前n项和为S_n，且S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差数列，则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A． 2^n-3
• B． 2^n-2
• C． 2^n-1
• D． 2^n-2+1

Answer 1

分析 先根据S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差数列，得到2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，继而得到2a_n-1=S_n-1+$\frac{1}{2}$，两式相减，整理得：a_n=2a_n-1（n≥2），继而得到数列{a_n}是$\frac{1}{2}$为首项，2为公比的等比数列，问题得以解决．

解答 解：由题意知2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，
2a_n-1=S_n-1+$\frac{1}{2}$，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），整理得：a_n=2a_n-1（n≥2）
当n=1是，2a₁=S₁+$\frac{1}{2}$，即a₁=$\frac{1}{2}$
∴数列{a_n}是$\frac{1}{2}$为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2，
当n=1时，成立，
故选：B

点评 本题考查了等差数列的性质和数列的递推公式，属于基础题．