Question

9．已知x、y∈[0，+∞）且满足x³+y³+3xy=1．则x²y的最大值为$\root{6}{\frac{27}{{2}^{7}}}$．

Answer 1

分析 运用拆项组合，得出$\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$+y³+xy+xy+xy=1，运用基本不等式求解即可．

解答 解：∵x、y∈[0，+∞）且满足x³+y³+3xy=1，
∴$\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$+y³+xy+xy+xy=1，
∵$\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$+y³+xy+xy+xy≥7$\root{7}{\frac{{x}^{12}{y}^{6}}{27}}$，（y²=x=$\sqrt{3}$等号成立）
∴1≥7$\root{7}{\frac{{x}^{12}{y}^{6}}{27}}$，
即x²y≤$\root{6}{\frac{27}{{2}^{7}}}$，（y²=x=$\sqrt{3}$等号成立）
故答案为：$\root{6}{\frac{27}{{2}^{7}}}$

点评 本题考查了基本不等时代运用，关键构造得出运用的条件，拆项组合，判断求解．