Question

2．已知函数f（x）=$|\begin{array}{l}{2sinx}&{m}\\{cos2x}&{cosx}\end{array}|$的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，则f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 利用矩阵运算及正弦函数的图象的对称性求得m的值，再利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．

解答 解：∵函数f（x）=$|\begin{array}{l}{2sinx}&{m}\\{cos2x}&{cosx}\end{array}|$=2sinxcosx-mcos2x=sin2x-mcos2x的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，
∴f（0）=f（$\frac{π}{4}$），即-m=1，即m=-1．
则f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得 kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$（k∈Z），故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z，
故答案为：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查矩阵、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题．