Question

12．F₁，F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若△PF₁F₂的内切圆半径与外接圆半径之比为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，该曲线的离心率为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 由向量垂直的条件和双曲线的定义，结合勾股定理，设△PF₁F₂的内切圆半径为r，由等积法可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+||F₁F₂|）r，求得r，再由直角三角形的外心为斜边的中点，可得外接圆的半径R=c，再由离心率公式，化简整理计算即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由双曲线的定义可得||PF₁|-|PF₂||=2a，①
|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，②
②-①²，可得2|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²，
即有（|PF₁|+|PF₂|）²=8c²-4a²，
即为|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{8{c}^{2}-4{a}^{2}}$，
设△PF₁F₂的内切圆半径为r，由等积法可得
$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+||F₁F₂|）r，
可得r=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{c+\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}}$，
由直角三角形的外心为斜边的中点，
可得外接圆的半径为R=c，
由题意△PF₁F₂的内切圆半径与外接圆半径之比为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
可得$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{c}^{2}+\sqrt{2{c}^{4}-{a}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$可得$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+\sqrt{2{e}^{4}-{e}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
化为e⁴-（5+2$\sqrt{3}$）e²+4+2$\sqrt{3}$=0，
解得e²=4+2$\sqrt{3}$或1（舍去），
即有e=1+$\sqrt{3}$．
故答案为：1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和勾股定理，同时考查等积法求三角形的内切圆的半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．