Question

17．设a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n+1-S_n+2S_n+1S_n=0，则数列{a_n}的通项公式为 a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{4{n}^{2}-8n+3}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 先根据递推公式得到数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出S_n=$\frac{1}{2n-1}$，由此得到S_n-1=$\frac{1}{2n-3}$，故a_n=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$，化简整理即可．

解答 解：∵S_n+1-S_n+2S_n+1S_n=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=2，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴S_n-1=$\frac{1}{2n-3}$，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$=$\frac{-2}{（2n-1）（2n-3）}$=-$\frac{2}{4{n}^{2}-8n+3}$，
当n=1时，不成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{4{n}^{2}-8n+3}，n≥2}\end{array}\right.$
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{4{n}^{2}-8n+3}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法和等差数列的性质，属于中档题．