Question

4．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=2，（\overrightarrow a-\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$，则$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角是$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$⊥$\overrightarrow{a}$，可得$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：∵$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$⊥$\overrightarrow{a}$，
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角是$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．