Question

18．随着杜会的发展，大多数家庭的经济状况不断提高，可是膏少年的身体健康指标却每况愈下，该观象备受杜会人士的关注，某一网站线上调查结果显示，青少年身体健康不达标的主要原因有以下三项：“饮食不规律造成营养不均衡”，“学业任务繁重”，“缺乏锻炼”，据统计，60名学生参加调查的情况如下表所示：

参加调查的项数	0	1	2	3
所占比例	$\frac{1}{6}$	P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

（1）现从这60名学生中按照参加调查的项数分层抽取6名学生进行了解情况，医疗部分决定在这已抽取的6名学生中随机抽取2名进行体检，记这2名学生中参加调查的项数为3的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）医疗部分对部分学生一周内进行体育锻炼的时间x（单位：小时）和身体健康指标y进行了一定的统计分析，得到如下数据

一周内进行体育锻炼的时间	4	6	8	10
身体健康指标	3	5	6	8

由表中数据，求得线性回归方程为y=0.8x+a，若某学生一周内进行体育锻炼的时间x=12，求该学生的身体健康指标值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出P的值，计算ξ的可能值并求出对应的频率P（ξ），写出ξ的分布列与数学期望Eξ；
（2）计算平均数$\overline{x}$、$\overline{y}$，代入线性回归方程求出a的值，利用回归方程估算身体健康指标值．

解答 解：（1）根据频率和为1，求出P=1-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；
从60名学生中抽取6名学生，检查项数为3的学生有2人，
从这6名学生中随机抽取2名进行体检，检查项数为3的学生人数ξ的值为0、1、2，
则P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$；
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

数学期望为Eξ=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$；
（2）由表中数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（4+6+8+10）=7，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（3+5+6+8）=5.5，
代入线性回归方程y=0.8x+a，
求得a=5.5-0.8×7=-0.1，
∴当x=12时，身体健康指标值为
y=0.8×12-0.1=9.5．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与期望值以及线性回归方程的应用问题，是基础题目．