Question

5．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x₁，x₂，…x_n总满足$\frac{1}{n}$[f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）]≤f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}+…{+x}_{n}}{n}$），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3$sin\frac{A+B+C}{3}$，即可得出．

解答 解：由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3$sin\frac{A+B+C}{3}$=$3sin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，当且仅当A=B=C=$\frac{π}{3}$时取等号．
∴sinA+sinB+sinC的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了凸函数的性质、三角形内角和定理、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．