Question

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，b=2
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）求AB+BC的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理将边化角整理条件式子，得出cosB；
（II）使用正弦定理将AB，BC表示为A的函数，根据A的范围求出AB+BC的范围．

解答 解：（I）在△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）由正弦定理得：$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinC$，BC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinA$．
∴AB+BC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}-A$）]=2$\sqrt{3}$sinA+2cosA=4sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴2＜4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4．
即AB+BC的取值范围是（2，4]．

点评 本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．