Question

3．方程a_nx²-a_n+1x+1=0有两个实根x₁，x₂，满足6x₁-2x₁x₂+6x₂=3，且a₁=$\frac{7}{6}$，求a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系以及6x₁-2x₁x₂+6x₂=3，得到6a_n+1-2=3a_n，继而得到a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），即{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，问题得以解决．

解答 解：方程a_nx²-a_n+1x+1=0有两个实根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，x₁x₂=$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∵6x₁-2x₁x₂+6x₂=3，
∴$\frac{6{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n}}$=3，
即6a_n+1-2=3a_n，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$，
∴a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
∵a₁=$\frac{7}{6}$，
∴a₁-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{6}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查根与系数的关系的应用和数列的通项公式，解题时要认真审题，仔细解答．属于中档题．