Question

13．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（-5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的为②．
①x+y=5； ②x²+y²=9　③$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1　④x²=16y．

Answer 1

分析 先确定M的轨迹，再研究各选项与M的轨迹的交点情况，即可得到结论．

解答 解：∵M到平面内两点A（-5，0），B（5，0）距离之差为8，
∴M的轨迹是以A（-5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支，方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1（x≥4）．
①∵直线x+y=5过点（5，0）与（0，5）直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1（x≥4）有交点，满足题意；
②∵x²+y²=9的圆心为（0，0），半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
③∵$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$的右顶点为（5，0），与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1（x≥4）有交点，满足题意；
④联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{{x}^{2}=16y}\end{array}\right.$，可得y²-9y+9=0，解得$x=±4\sqrt{3}$，y=3，满足题意．
故答案为：②．

点评 本题考查新定义，考查双曲线的定义，考查曲线的位置关系，属于中档题．