Question

3．经过点M（2，1）作直线l交双曲线x²-$\frac{y^2}{2}$=1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（　　）

• A． 4x+y+7=0
• B． 4x+y-7=0
• C． 4x-y-7=0
• D． 4x-y+7=0

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线AB的方程，代入双曲线的方程，由判别式的符号，即可得到判断直线的存在性．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，x₂²-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=1，
两式相减可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）-$\frac{{（y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$=0，
M为AB的中点，即有x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
可得直线AB的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2×4}{2}$=4，
即有直线AB的方程为y-1=4（x-2），即为4x-y-7=0．
由y=4x-7代入双曲线的方程x²-$\frac{y^2}{2}$=1，可得14x²-56x+51=0，
即有△=56²-4×14×51=280＞0，故存在直线AB，其方程为4x-y-7=0．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的中点弦所在直线方程的求法，注意运用点差法，注意检验直线的方程的存在性，考查运算能力，属于中档题．