Question

8．已知点F为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作直线l与双曲线C相交于A，B两点，若满足|AB|=2的直线l有且仅有两条，则双曲线C的方程可以是（　　）

• A． x²-4y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． 2x²-2y²=1
• D． x²-y²=1

Answer 1

分析 运用排除法解决，求得a，b，以及交点在左右两支和右支，分别求得弦长的最小值，即可判断A，B，C不合题意，D正确．

解答 解：对于A，即有x²-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1，可得a=1，b=$\frac{1}{2}$，
当AB垂直于x轴时，弦长AB为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$＜2，
由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，
有一条；交于右支，有两条，共有3条；
对于B，x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得a=1，b=$\sqrt{2}$，当AB垂直于x轴时，弦长AB为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4＞2，
由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有0条，共有1条；
对于C，即有$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1，可得a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当AB垂直于x轴时，弦长AB为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$＜2，
由2a=$\sqrt{2}$＜2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有两条；交于右支，有两条，共有4条；
对于D，可得a=b=1，当AB垂直于x轴时，弦长AB为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，
由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有一条，共有2条．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的弦长问题的解法，注意讨论交点的位置，以及弦长的最小值和对称性，考查运算能力，属于中档题．