Question

2．正项数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n及数列{3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n}的前n项和T_n的最小值；
（3）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，对任意n∈N₊都有b_n+1＞b_n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于对任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．a_n＞0（n∈N^*）．分别令n=1，2，解出即可得出．
（2）对任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．a_n＞0（n∈N^*）．利用递推关系化为：${a}_{n}^{2}$=S_n+S_n-1+2，又${a}_{n+1}^{2}$=S_n+1+S_n+2，再一次利用递推关系可得：${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=a_n+1+a_n，化为a_n+1-a_n=1，利用等差数列的通项公式可得：a_n=n+1.3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n=3ⁿ⁺¹-26（n+1）．可知：当n=1，2，3时，3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n＜0．n≥4时，3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n＞0．即可得出数列{3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n}的前n项和T_n的最小值为T₃．
（3）由b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，对任意n∈N₊都有b_n+1＞b_n恒成立，可得3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•t$•{2}^{{a}_{n+1}}$＞3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，化为：2×3ⁿ＞（-1）^n-1•t•2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ•t•2ⁿ⁺²．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵对任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．a_n＞0（n∈N^*）．
分别令n=1，2，可得：${a}_{1}^{3}$=${S}_{1}^{2}$+2S₁=${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$，a³₁+a³₂=${S}_{2}^{2}+2{S}_{2}$=$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$+2（a₁+a₂）．
联立解得a₁=2，a₂=3．
（2）对任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．a_n＞0（n∈N^*）．
当n≥2时，a³₁+a³₂+a³₃+…+${a}_{n-1}^{3}$=${S}_{n-1}^{2}$+2S_n-1．
∴${a}_{n}^{3}$=S²_n+2S_n-${S}_{n-1}^{2}$-2S_n-1．
化为：${a}_{n}^{2}$=S_n+S_n-1+2，
又${a}_{n+1}^{2}$=S_n+1+S_n+2，
∴${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=a_n+1+a_n，
化为a_n+1-a_n=1，又a₂-a₁=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为2，公差为1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n=3ⁿ⁺¹-26（n+1）．
当n=1时，${3}^{{a}_{1}}-26{a}_{1}$=9-26×2＜0，
同理可得：n=2，3时，3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n＜0．
n≥4时，3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n＞0．
∴数列{3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n}的前n项和T_n的最小值为T₃=3²+3³+3⁴-26×（2+3+4）=-117．
（3）∵b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，对任意n∈N₊都有b_n+1＞b_n恒成立，
∴3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•t$•{2}^{{a}_{n+1}}$＞3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，
化为：2×3ⁿ＞（-1）^n-1•t•2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ•t•2ⁿ⁺²．
当n为偶数时，化为：2×3ⁿ＞-t•2ⁿ⁺¹-t•2ⁿ⁺²，t＞$-\frac{1}{3}×（\frac{3}{2}）^{n}$的最大值，∴t＞$-\frac{1}{3}×（\frac{3}{2}）^{2}$=-$\frac{3}{4}$．
当n为奇数时，化为：2×3ⁿ＞t•2ⁿ⁺¹+t•2ⁿ⁺²，化为t＜$\frac{1}{3}×（\frac{3}{2}）^{n}$的最小值，∴t＜$\frac{1}{2}$．
综上可得：实数t的取值范围是$（-\frac{3}{4}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、不等式的性质、递推关系、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．