Question

7．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（1）若双曲线D与椭圆C有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，求双曲线D的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的点．
①若直线OM的斜率为$\sqrt{3}$，且OM⊥ON，求△MON的面积；
②设动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$$+\sqrt{3}\overrightarrow{ON}$，直线OM与ON的斜率之积为-$\frac{1}{3}$，求证：动点P在定曲线上．

Answer 1

分析 （1）由双曲线D与椭圆C有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，设双曲线D的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），并能求出a，b，从而能求出双曲线D的方程．
（2）①设直线OM为：y=$\sqrt{3}x$，则直线ON为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，分别与椭圆联立，得到|OM|=3，|ON|=$\sqrt{6}$，由此能求出△MON的面积．
②设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}={x}_{1}+\sqrt{3}{x}_{2}}\\{{y}_{P}={y}_{1}+\sqrt{3}{y}_{2}}\end{array}\right.$，由直线OM与ON的斜率之积为-$\frac{1}{3}$，得x₁x₂+3y₁y₂=0，由此能证明动点P在定曲线$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$上．

解答 解：（1）∵椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
双曲线D与椭圆C有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，
∴设双曲线D的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{\sqrt{6}}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴双曲线D的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）①∵M，N是椭圆C上的点，直线OM的斜率为$\sqrt{3}$，且OM⊥ON，
∴设直线OM为：y=$\sqrt{3}x$，则直线ON为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{9}{10}$，y²=$\frac{81}{10}$，|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{10}+\frac{81}{10}}$=3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{9}{2}$，y²=$\frac{3}{2}$，|ON|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴△MON的面积S=$\frac{1}{2}×|OM|×|ON|$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
证明：②设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$$+\sqrt{3}\overrightarrow{ON}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}={x}_{1}+\sqrt{3}{x}_{2}}\\{{y}_{P}={y}_{1}+\sqrt{3}{y}_{2}}\end{array}\right.$，①
由直线OM与ON的斜率之积为-$\frac{1}{3}$，
得：$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$，即x₁x₂+3y₁y₂=0，②
由①②可得：x_P²+3y_P²=（x₁²+3y₁²）+（x₂²+3y₂²）
∵M、N是椭圆上的点，∴x₁²+3y₁²=9，x₂²+3y₂²=9，
∴x_P²+3y_P²=18，即$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{18}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{6}$=1．
∴动点P在定曲线$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$上．

点评 本题考查双曲线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查动点在定曲线上的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线性质的合理运用．