Question

16．已知数列{a_n}是以a₁为首项，q为公比的等比数列，对于给定的a₁，满足q²-2a₁q+2a₁-1=0的数列{a_n}是唯一的，则首项a₁=1或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由满足q²-2a₁q+2a₁-1=0的数列{a_n}是唯一的，得到关于q的方程的有两个相等的不为零的实数根，或者q有两个根，其中一根为0．

解答 解：满足q²-2a₁q+2a₁-1=0的数列{a_n}是唯一的，
∴关于q的方程的有两个相等的实数根，或q有两个根，其中一根为0；
①关于q的方程q²-2a₁q+2a₁-1=0有两个相等根：△=4a₁²-4（2a₁-1）=0，解得a₁=1，
经验证，关于q的方程q²-2a₁q+2a₁-1=0有两个相等根q=1，满足题意；
②关于q的方程q²-2a₁q+2a₁-1=0有两个根，其中一根为0，将q=0代入方程，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
经验证，a₁=$\frac{1}{2}$时，关于q的方程q²-2a₁q+2a₁-1=0有两个根q=0和q=1，满足题意；
故答案为：1或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的性质和方程的根的个数，属于中档题．