Question

5．分析下列四个命题：
①若实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个不小于1；
②若z为复数，且|z|=1，则|z-i|的最大值等于2；
③任意x∈（0，+∞）都有x＞sinx；
④若f（x）是奇函数，则∫${\;}_{-a}^{a}$f（x）dx=2∫${\;}_{0}^{a}$f（x）dx．
其中，正确命题的序号是①②③．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①可运用反证法，即可判断；
②运用|z-i|≤|z|+|-i|=2，即可得到最大值；
③运用导数，判断函数的单调性，再由单调性可证；
④根据定积分的几何意义进行判断．

解答 解：①则用反证法，假设a，b，c都不小于1，a≥1，b≥1，c≥1，则a+b+c≥3，与a+b+c＜3，矛盾，故可得a，b，c中至少有一个不小于1，故①正确；
②若z为复数，且|z|=1，则由|z-i|≤|z|+|-i|=2，可得|z-i|的最大值等于2，故②正确；
③任意x∈（0，+∞），根据（x-sinx）′=1-cosx≥0，可得y=x-sinx在R上为增函数，
当x=0时，y=x-sinx=0，可得任意x∈（0，+∞），都有x-sinx＞0，即x＞sinx，故③正确．
④f（x）是奇函数，∴其图象关于原点对称，
∵定积分的几何意义是函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和，
∴函数f（x）在区间[-a，a]上的图象必定关于原点O对称，
∴函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和为0，
∴∫${\;}_{-a}^{a}$f（x）dx=0，故④错误．
故答案为：①②③．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查函数的单调性及应用，复数的几何意义，及定积分的几何意义，属于中档题．