Question

11．若存在实数k和b，使得函数f（x）和g（x）对定义域内的任意x均满足：[f（x）-（kx+b）][g（x）-（kx+b）]≤0，且存在x₁使得f（x₁）-（kx₁+b）=0，存在x₂使得g（x₂）-（kx₂+b）=0，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“分界线”．在下列说法中正确的是（　　）

• A． 任意两个一次函数最多存在一条“分界线”
• B． “分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点
• C． f（x）=x²-2x与g（x）=-x²+4的“分界线”是y=-x+2
• D． f（x）=x²与g（x）=-（x-1）²的“分界线”是y=0或$y=x-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由[f（x）-（kx+b）][g（x）-（kx+b）]≤0，可得f（x）和g（x）在直线y=kx+b的两侧，同时f（x）和g（x）都和直线y=kx+b相交，利用数形结合进行求解判断即可．

解答 解：由[f（x）-（kx+b）][g（x）-（kx+b）]≤0，可得f（x）和g（x）在直线y=kx+b的两侧，
由f（x₁）-（kx₁+b）=0和g（x₂）-（kx₂+b）=0得f（x）和g（x）都和直线y=kx+b相交，
A．任意两个函数相交时，过交点的直线有很多条，
故任意两个一次函数存在无数条“分界线”如图：故A错误，

B．当f（x）=x（x-1）（x+1）+1，g（x）=-x（x-1）（x+1）+1，满足y=1是f（x）和g（x）的分界线，但此时f（x）与g（x）有3个交点，故B错误，

C．由x²-2x=-x²+4得x²-x-2=0，得x=2或x=-1，此时A（-1，3），B（2，0），过A，B的直线为y=-x+2，
则f（x）=x²-2x与g（x）=-x²+4的“分界线”是y=-x+2，故C正确，

D．作出f（x），g（x）和y=0或$y=x-\frac{1}{2}$的图象，由图象知$y=x-\frac{1}{2}$与f（x）和g（x）没有交点，不满足条件f（x₁）-（kx₁+b）=0和g（x₂）-（kx₂+b）=0，．
故D错误，

故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，利用条件得到“分界线”的定义，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．