Question

6．已知$\frac{π}{6}＜α＜\frac{π}{2}$，$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，则$tan（α-\frac{π}{6}）$=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$sin（\frac{2π}{3}+2α）$=$-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．

Answer 1

分析 由已知可得0＜$α-\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，利用同角三角函数基本关系式可求cos（$α-\frac{π}{6}$），$tan（α-\frac{π}{6}）$的值，利用诱导公式可求sin（$\frac{π}{3}$+α），cos（$\frac{π}{3}$+α）的值，利用二倍角的正弦函数公式即可化简求值．

解答 解：∵$\frac{π}{6}＜α＜\frac{π}{2}$，$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，
∴0＜$α-\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，
∴cos（$α-\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$tan（α-\frac{π}{6}）$=$\frac{sin（α-\frac{π}{6}）}{cos（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵sin（$\frac{π}{3}$+α）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$+α）]=cos（$\frac{π}{6}$-α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos（$\frac{π}{3}$+α）=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$+α）]=sin（$\frac{π}{6}$-α）=-$\frac{1}{3}$，
∴$sin（\frac{2π}{3}+2α）$=2sin（$\frac{π}{3}$+α）cos（$\frac{π}{3}$+α）=2×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×（-$\frac{1}{3}$）=$-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．