Question

17．如图，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为4．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，与椭圆联立，得（4k²+1）x²+8kx-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件推导出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-$\frac{5}{3}$为定值．当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=-$\frac{5}{3}$．从而得到存在常数$λ=-\frac{1}{3}$，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$为定值-$\frac{5}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=2，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kx-4=0，
△=64k²+8（4k²+1）＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8k}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4}{4{k}^{2}+1}$，
从而$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{（-4λ-8）{k}^{2}+（-4λ-3）}{4{k}^{2}+1}$，
∴当$λ=-\frac{1}{3}$时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-$\frac{5}{3}$，
此时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-$\frac{5}{3}$为定值．
当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=-$\frac{5}{3}$．
故存在常数$λ=-\frac{1}{3}$，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$为定值-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用，是中档题．