Question

8．如图，已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C所对的边长，a=c，且满足cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，点O是△ABC外一点，OA=2OB=4，则平面四边形OACB面积的最大值是8+5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依题意，设∠AOB=θ，可求得△ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得S_OACB=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$，（0＜θ＜π），从而可求得平面四边形OACB面积的最大值．

解答 解：∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
可得：cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=cos（A+B）cosAcosB-sinAsinB，
∴$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，
又∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴可得：tanB=$\sqrt{3}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$，
又∵a=c，
∴△ABC为等边三角形；
∴S_OACB=S_△AOB+S_△ABC
=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|sinθ+$\frac{1}{2}$×|AB|²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$×4×2×sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（|OA|²+|OB|²-2|OA|•|OB|cosθ）
=4sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4+16-2×2×4×cosθ）
=4sinθ-4$\sqrt{3}$cosθ+5$\sqrt{3}$
=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$，
∵0＜θ＜π，
∴-$\frac{π}{3}$＜θ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴当θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$时，sin（θ-$\frac{π}{3}$）取得最大值1，
∴平面四边形OACB面积的最大值为8+5$\sqrt{3}$．
故答案为：8+5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得S_OACB=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．