Question

20．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁并且垂直于x轴的直线为l，若过原点O和F₂并和直线l相切的圆的半径等于点F₂到双曲线C的两条渐近线的距离之和，则双曲线C的离心率为$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式和直线与圆相切的条件：d=r，可得4b=3c，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
可得点F₂到双曲线C的两条渐近线的距离的和为2•$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2b，
过原点O和F₂并和直线l相切的圆的半径为r=$\frac{c}{2}$+c=$\frac{3c}{2}$，
由题意可得2b=$\frac{3c}{2}$，即9c²=16b²=16（c²-a²），
可得c²=$\frac{16}{7}$a²，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的焦点和渐近线方程，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．