Question

10．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线的延长线与y轴的交点坐标为（0，$\frac{c}{2}$），则此双曲线的离心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设双曲线的一个焦点F（c，0），一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得b=2a，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的一个焦点F（c，0），一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得
$\frac{b}{a}$•$\frac{\frac{c}{2}-0}{-c}$=-1，化为b=2a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的焦点和渐近线方程、两直线垂直的条件以及离心率公式，考查运算能力，属于基础题．