Question

7．如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁=6，且A₁A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD₁，BC上，BQ=4．
（1）若DP=$\frac{2}{3}$DD₁，证明：PQ∥平面ABB₁A₁；
（2）若P是D₁D的中点，证明：AB₁⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）在AA₁上取一点N，使得AN=$\frac{2}{3}$AA₁，由已知可证四边形BQPN为平行四边形，从而证明PQ∥BN，即可判定PQ∥ABB₁A₁．
（2）取A₁A的中点M，连接PM，BM，PC，可证PM∥BC，又由BC⊥AB，BC⊥A₁A，可证BC⊥AB₁，由tan∠ABM=tan∠A₁AB₁，可得∠ABM=∠A₁AB₁，证明AB₁⊥BM，从而可证AB₁⊥平面PBC．

解答 证明：（1）在AA₁上取一点N，使得AN=$\frac{2}{3}$AA₁，
∵DP=$\frac{2}{3}$DD₁，且A₁D₁=3，AD=6，
∴PN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{2}{3}$AD，又BQ$\stackrel{∥}{=}$$\frac{2}{3}$AD，
∴PN$\stackrel{∥}{=}$BQ，
∴四边形BQPN为平行四边形，
∴PQ∥BN，
∵BN?平面ABB₁A₁，PQ?ABB₁A₁．
∴PQ∥ABB₁A₁．…6分
（2）如图所示，取A₁A的中点M，连接PM，BM，PC，
∵A₁，A，D₁D是梯形的两腰，P是D₁D的中点，
∴PM∥AD，于是由AD∥BC知，PM∥BC，
∴P，M，B，C四点共面，
由题设可知，BC⊥AB，BC⊥A₁A，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AB₁，①
∵tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{1}A}$=tan∠A₁AB₁，
∴∠ABM=∠A₁AB₁，
∴∠ABM+∠BAB₁=∠A₁AB₁+∠BAB₁=90°，
∴AB₁⊥BM，
再由①与BC∩BM=B，知AB₁⊥平面PBC．…12分

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了转化思想和数形结合思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．