Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|\\;0＜x＜3}\\{sin（\frac{π}{6}x）\\;3≤x≤15}\end{array}\right.$，若存在实数x₁，x₂，x₃，x₄满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），其中x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₁x₂x₃x₄取值范围是（　　）

• A． （60，96）
• B． （45，72）
• C． （30，48）
• D． （15，24）

Answer 1

分析 先画出函数f（x）的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．

解答 解：函数f（x）的图象如下图所示：
若满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），其中x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
则0＜x₁＜1，1＜x₁＜3，
则log₃x₁=-log₃x₂，即log₃x₁+log₃x₂=log₃x₁x₂=0，
则x₁x₂=1，
同时x₃∈（3，6），x₄∈（12，15），
∵x₃，x₄关于x=9对称，∴$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=9，
则x₃+x₄=18，则x₄=18-x₃，
则x₁x₂x₃x₄=x₃x₄=x₃（18-x₃）=-x₃²+18x₃=-（x₃-9）²+81，
∵x₃∈（3，6），
∴x₃x₄∈（45，72），
即x₁x₂x₃x₄∈（45，72），
故选：B．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性进行转化是解决本题的关键．