Question

9．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3．求△ABC的周长L的最大值．

Answer 1

分析 利用正弦定理把b，c用B，C表示出来，根据C=$\frac{2π}{3}-B$将L表示成关于B的函数，利用B的范围求出L的最大值．

解答 解：由正弦定理得$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{3}$．
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}-B$）=3cosB+$\sqrt{3}$sinB．
∴L=a+b+c=3+3$\sqrt{3}$sinB+3cosC=3+6sin（B+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴当B=$\frac{π}{3}$时，L取得最大值9．

点评 本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．