Question

19．已知函数f（x）=sinx-$\frac{x}{2}$．当0＜x＜1时，不等式f（x）•log₂（x-2^m+$\frac{5}{4}$）＞0恒成立．则实数m得到取值范围是（-∞，-2]．

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的单调性，根据不等式恒成立进行转化，利用参数分离法 转化求最值问题即可．

解答 解：函数f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，则函数f（x）在0＜x＜1上为增函数，
此时f（x）＞f（0）=0，
∴不等式f（x）•log₂（x-2^m+$\frac{5}{4}$）＞0等价为log₂（x-2^m+$\frac{5}{4}$）＞0成立，
即x-2^m+$\frac{5}{4}$＞1恒成立，即x＞2^m-$\frac{1}{4}$，
∵0＜x＜1，∴2^m-$\frac{1}{4}$≤0，即2^m≤$\frac{1}{4}$，
得m≤-2．
故答案为：（-∞，-2]

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，求函数的导数，判断函数的单调性，利用参数分离法转化为求最值是解决本题的关键．