Question

4．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边是a，b，c，则下列说法正确的有②③⑤（写出所有正确命题的编号）．
①若$a=2，b=2\sqrt{3}，A=30°$，则B=60°
②若sinA＞sinB，则a＞b，反之也成立
③若A=60°且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=2$，则△ABC的面积是$\sqrt{3}$
④若b²=ac且$cos（A-C）=\frac{3}{2}-cosB$，则$B=\frac{π}{3}或B=\frac{2π}{3}$
⑤若c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，则△ABC一定是直角三角形．

Answer 1

分析 利用正弦定理进行分析判断．

解答 解：对于①，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴sinB=$\frac{bsinA}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=60°或B=120°，故①错误．
对于②，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}$，故②正确．
对于③，∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=bccosA=2，∴bc=4，
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故③正确．
对于④，∵$cos（A-C）=\frac{3}{2}-cosB$=$\frac{3}{2}+cos（A+C）$，
∴cosAcosC+sinAsinC=$\frac{3}{2}$+cosAcosC-sinAsinC，
∴sinAsinC=$\frac{3}{4}$．
∵b²=ac，∴sin²B=sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$．
若B=$\frac{2π}{3}$，则cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=2＞1，故④错误．
对于⑤，∵c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，
∴sin²Csin²B+sin²Bsin²C=2sinBsinCcosBcosC，
∴sinBsinC=cosBcosC，∴cosBcosC-sinBsinC=0，
∴cosA=0，即A=90°．故⑤正确．
故答案为：②③⑤．

点评 本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．