Question

13．已知t＞0，函数f（x）=2x-1+$\sqrt{4+t-2tx}$的最大值为g（t），则g（t）的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． 1
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 令$\sqrt{4+t-2tx}$=m，则2x-1=$\frac{4-{m}^{2}}{t}$，从而利用配方法求最大值，再由基本不等式求最小值即可．

解答 解：令$\sqrt{4+t-2tx}$=m，则2x-1=$\frac{4-{m}^{2}}{t}$，
故f（x）=2x-1+$\sqrt{4+t-2tx}$
=$\frac{4-{m}^{2}}{t}$+m=$\frac{-（m-\frac{t}{2}）^{2}+4+\frac{{t}^{2}}{4}}{t}$=F（m），
故g（t）=F_max（m）=$\frac{4}{t}$+$\frac{t}{4}$≥2，
（当且仅当t=4时，等号成立），
故选A．

点评 本题考查了配方法的应用及基本不等式的应用，同时考查了换元法的应用．