Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{x}^{2}}{x+1}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\end{array}\right.$，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 判断函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的值域，根据若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立得到，f（x）的值域和g（x）的值域交集不是空集即可得到结论．

解答 解：当$\frac{1}{2}$＜x≤1时，f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$的导数f′（x）=$\frac{4x（x+1）-2{x}^{2}}{（x+1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}+4x}{（x+1）^{2}}$=$\frac{2（x+1）^{2}-2}{（x+1）^{2}}$＞0，
则此时函数f（x）为增函数，则f（$\frac{1}{2}$）＜f（x）≤f（1），即$\frac{1}{3}$＜f（x）≤1，
当0≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{6}$为减函数，
则0≤f（x）≤$\frac{1}{6}$，
即函数f（x）的值域为[0，$\frac{1}{6}$]∪（$\frac{1}{3}$，1]
函数g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-2a+2（a＞0），在[0，1]上为增函数，
则g（0）≤g（x）≤g（1），
即2-2a≤g（x）≤2-$\frac{3}{2}$a，
即g（x）的值域为[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]
若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]∩（[0，$\frac{1}{6}$]∪（$\frac{1}{3}$，1]）≠∅，
若[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]∩（[0，$\frac{1}{6}$]∪（$\frac{1}{3}$，1]）=∅，
则2-$\frac{3}{2}$a＜0或$\left\{\begin{array}{l}{2-2a＞\frac{1}{6}}\\{2-\frac{3a}{2}≤\frac{1}{3}}\end{array}\right.$或2-2a＞1，
即a＞$\frac{4}{3}$或a无解或0＜a＜$\frac{1}{2}$，
即若[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]∩（[0，$\frac{1}{6}$]∪（$\frac{1}{3}$，1]）≠∅，
则$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了分段函数的应用，函数的值域问题，不等式的应用，解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．综合性较强，难度较大．