Question

18．已知a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{1}{4}$[（2n-1）a_n+1+1]，a₁=1，则a_n=3^n-1．

Answer 1

分析 化简可得（n+1）a_n+1=$\frac{1}{4}$[（2n+1）a_n+2+1]-$\frac{1}{4}$[（2n-1）a_n+1+1]，从而可判断数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而解得．

解答 解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{1}{4}$[（2n-1）a_n+1+1]，
a₁+2a₂+3a₃+…+na_n+（n+1）a_n+1=$\frac{1}{4}$[（2n+1）a_n+2+1]，
两式作差可得，
（n+1）a_n+1=$\frac{1}{4}$[（2n+1）a_n+2+1]-$\frac{1}{4}$[（2n-1）a_n+1+1]，
化简可得，a_n+2=3a_n+1，
当n=1时，a₁=$\frac{1}{4}$（a₂+1），解得，a₂=3；
故数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
故a_n=1•3^n-1=3^n-1，
故答案为：3^n-1．

点评 本题考查了数学归纳法的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了等比数列的性质应用．