Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}中，b_n=a_n+1．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{{b}_{n}}{（{b}_{n}+1）（{b}_{n}+3）}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}中，a₁=2，a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1．代入：b_n+1=a_n+1+1即可证明．
（II）c_n=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}+1）（{3}^{n}+3）}$=$\frac{{3}^{n-1}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （I）证明：数列{a_n}中，a₁=2，a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1．
∴b_n+1=a_n+1+1=3a_n+3=3（a_n+1）=3b_n，
∴数列{b_n}是等比数列，首项与公比都为3．
∴b_n=3ⁿ．
（II）解：c_n=$\frac{{b}_{n}}{（{b}_{n}+1）（{b}_{n}+3）}$=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}+1）（{3}^{n}+3）}$=$\frac{{3}^{n-1}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3+1}）$+$（\frac{1}{3+1}-\frac{1}{{3}^{2}+1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．