Question

10．若两函数y=x+a与y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$的图象有两个交点A、B，O三坐标原点，△OAB是锐角三角形，则实数a的取值范围是（$\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出OA⊥OB与OA⊥AB时的实数a的值得答案．

解答 解：由y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$，得2x²+y²=1（y≥0）
作出两函数y=x+a与y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$的图象如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2ax+a²-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2a}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-1}{3}$，
当OA⊥OB时，$-\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•（-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}）=-1$，即y₁y₂=-x₁x₂，
∴（x₁+a）（x₂+a）=-x₁x₂，
则$a（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{x}_{1}{x}_{2}+{a}^{2}=0$，
∴$-\frac{2{a}^{2}}{3}+\frac{2{a}^{2}-2}{3}+{a}^{2}=0$，解得$a=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
当OA⊥AB时，OA所在直线方程为y=-x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得A（$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）
把A的坐标代入y=x+a，得$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴使△OAB是锐角三角形的实数a的取值范围是（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查曲线与方程，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．