Question

20．已知定义在[1，+∞）上的函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}4-8|{x-\frac{3}{2}}|，1≤x≤2\\ \frac{1}{2}f（{\frac{x}{2}}），x＞2\end{array}\right.$，当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图象面积为S_n，则S₁+S₂+…+S_n=（　　）

• A． 2ⁿ
• B． 2n
• C． 2ⁿ⁺¹-2
• D． n²+n

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，求出三角形的高，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）在[1，+∞）上的图象如图：

当n=1时，x∈[1，2]，此时三角形的高为f（$\frac{3}{2}$）=4，则S₁=$\frac{1}{2}$×1×4=2，
当n=2时，x∈[2，4]，此时三角形的高为f（3）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}×$4=2，则S₂=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
当n=3时，x∈[4，8]，此时三角形的高为f（6）=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{1}{2}×$2=1，则S₃=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
综上当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的最高点为2^3-n，与x轴围成的面积为S_n=$\frac{1}{2}$×2^3-n×2^n-1=2．
则S₁+S₂+…+S_n=2+2+…+2=2n，
故选：B

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据分段函数作出函数的图象，求出对应三角形的高，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．