Question

13．实系数一元二次方程x²+ax+b=0有一个虚数根的模为2，则a的取值范围是（-4，4）．

Answer 1

分析 设x=c+di（c，d∈R），则c²+d²=4．则c-di也是一元二次方程x²+ax+b=0的一个虚数根，利用根与系数的关系可得：b=c²+d²=4．再利用△＜0，即可得出．

解答 解：设x=c+di（c，d∈R），则c²+d²=4．
则c-di也是一元二次方程x²+ax+b=0的一个虚数根，
∴（c+di）（c-di）=b=c²+d²=4．
∵实系数一元二次方程x²+ax+b=x²+ax+4=0有虚数根，
∴△=a²-16＜0，解得-4＜a＜4．
∴a的取值范围是（-4，4）．
故答案为：（-4，4）．

点评 本题考查了实系数一元二次方程有虚数根的充要条件及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档础题．