Question

4．填空：
（1）${C}_{3n}^{38-n}{+C}_{21+n}^{3n}$=466；
（2）${C}_{13+n}^{3n}{+C}_{12+n}^{3n-1}{+C}_{11+n}^{3n-2}+…{+C}_{2n}^{17-n}$=124；
（3）${C}_{3}^{3}{+C}_{4}^{3}{+C}_{5}^{3}+…{+C}_{10}^{3}$=330．

Answer 1

分析 （1）根据组合数的意义，求出n=20，再计算${C}_{3n}^{38-n}{+C}_{21+n}^{3n}$的值；
（2）根据组合数的意义，求出n=6，再代人计算${C}_{13+n}^{3n}{+C}_{12+n}^{3n-1}{+C}_{11+n}^{3n-2}+…{+C}_{2n}^{17-n}$的值；
（3）根据组合数公式${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{m}$，进行化简与运算即可．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{3n≥38-n}\\{3n≤21+n}\end{array}\right.$，
∴$\frac{19}{2}$≤n≤$\frac{21}{2}$，
又∵n∈N^*，
∴n=20，
即${C}_{3n}^{38-n}{+C}_{21+n}^{3n}$=${C}_{30}^{28}$+${C}_{31}^{30}$
=${C}_{30}^{2}$+${C}_{31}^{1}$
=$\frac{30×29}{2}$+31
=466；
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}{3n≤13+n}\\{2n≥17-n}\end{array}\right.$，
∴$\frac{17}{3}$≤n≤$\frac{13}{2}$，
又∵n∈N^*，
∴n=6；
∴${C}_{13+n}^{3n}{+C}_{12+n}^{3n-1}{+C}_{11+n}^{3n-2}+…{+C}_{2n}^{17-n}$
=${C}_{19}^{18}$+${C}_{18}^{17}$+${C}_{17}^{16}$+…+${C}_{12}^{11}$
=${C}_{19}^{1}$+${C}_{18}^{1}$+${C}_{17}^{1}$+…+${C}_{12}^{1}$
=19+18+17+…+12
=$\frac{（19+12）×8}{2}$=124；
（3）${C}_{3}^{3}{+C}_{4}^{3}{+C}_{5}^{3}+…{+C}_{10}^{3}$=${C}_{4}^{4}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{10}^{3}$
=${C}_{5}^{4}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{10}^{3}$
=${C}_{6}^{4}$+…+${C}_{10}^{3}$
=…=${C}_{10}^{4}$+${C}_{10}^{3}$=${C}_{11}^{4}$=330．
故答案为：466，124，330．

点评 本题考查了组合数公式的定义与性质的意义问题，也考查了转化思想与计算能力，是基础题目．