Question

9．如图为函数y=f（x）=Asin（wx+φ）（A＞3，w＞0，|φ|＜π）图象的一部分．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数y=f（x）图象向左平移$\frac{π}{6}$的单位后，得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出w的值，可得函数的解析式．
（2）函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），可得sin（2x-$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，可得2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，由此求得x的范围．

解答 解：（1）根据函数y=f（x）=Asin（wx+φ）（A＞3，w＞0，|φ|＜π）的部分图象，
可得A=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$，∴w=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{3}$+φ=0，∴φ=-$\frac{2π}{3}$，∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{2π}{3}$）．
（2）将函数y=f（x）图象向左平移$\frac{π}{6}$的单位后，
得到函数y=g（x）=$\sqrt{3}$sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{2π}{3}$]=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
若g（x）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则sin（2x-$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，∴2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，
求得 kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
故要求x的取值范围为[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，解三角不等式，属于中档题．