Question

17．已知A₁，A₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右顶点，P为双曲线上第一限内的点，直线l：x=1与x轴交于点C，若直线PA₁，PA₂分别交直线l于B₁，B₂两点，且△A₁B₁C与A₂B₂C的面积相等，则直线PA₁的斜率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 设P（m，n），（m，n＞0），代入双曲线的方程，求得左右顶点和两直线的方程，可令x=1，求得交点B₁，B₂两点的坐标，运用直角三角形的面积公式解方程可得m，进而得到n的值，可得直线PA₁的斜率．

解答 解：设P（m，n），（m，n＞0），即有$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，①
由题意可得A₁（-2，0），A₂（2，0），
直线PA₁的方程为y=$\frac{n}{m+2}$（x+2），
令x=1可得y=$\frac{3n}{m+2}$；
直线PA₂的方程为y=$\frac{n}{m-2}$（x-2），
令x=1可得y=-$\frac{n}{m-2}$．
由直角三角形的面积公式可得
$\frac{1}{2}$•3•$\frac{3n}{m+2}$=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{n}{m-2}$，
解得m=$\frac{5}{2}$，
代入①可得n=$\frac{9}{4}$，
则直线PA₁的斜率为$\frac{n}{m+2}$=$\frac{\frac{9}{4}}{\frac{5}{2}+2}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查直线的斜率的求法，注意运用点满足双曲线的方程，联立直线方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．