Question

20．设h（x）=x+$\frac{m}{x}$，x∈[$\frac{1}{4}$，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=nin{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，则，f₂（x）=1，x∈[0，π]，
（理）当m=1时，设M（x）=$\frac{h（x）+h（4x）}{2}$+$\frac{|h（x）-h（4x）|}{2}$，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m=1，写出h（x）的解析式，由基本不等式可知h（x）≥2，h（x）的值域[2，$\frac{26}{5}$]；
（2）求导，讨论m取值范围，判断函数的递增区间，
（3）通过解不等式，比较出h（x）与h（4x）的大小，求出m（x）的解析式；求出M₁（x），M₂（x）求出M₁（x）-M₂（x）的值域，求出t，n的范围．

解答 解：（1）m=1时，h（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{4}$，5]，
h（x）的值域[2，$\frac{26}{5}$]；
（2）∵$h′（x）=1-\frac{m}{{x}^{2}}$
①m＜0时，h（x）在[$\frac{1}{4}，5$]递增；
②$0＜m≤\frac{1}{16}$时，h（x）在[$\frac{1}{4}，5$]递增；
③$\frac{1}{16}＜m≤25$时，h（x）在[$\sqrt{m}，5$]递增；
（3）（理）由题知：$h（x）-h（4x）=\frac{3（1-4{x}^{2}）}{4x}$，
∴h（x）＞h（4x），$x∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$；
h（x）=h（4x），$x∈\{\frac{1}{2}\}$；
h（x）＜h（4x），$x∈（\frac{1}{2}，\frac{5}{4}]$．
∵$M（x）=\left\{\begin{array}{l}{h（x）}&{h（x）≥h（4x）}\\{h（4x）}&{h（x）＜h（4x）}\end{array}\right.$，
∴$M（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}}&{x∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]}\\{4x+\frac{1}{4x}}&{x∈[\frac{1}{2}，\frac{5}{4}]}\end{array}\right.$；
${M}_{1}（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，}&{x∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]}\\{\frac{5}{2}，}&{x∈[\frac{1}{2}，\frac{5}{4}]}\end{array}\right.$；
${M}_{2}（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{17}{4}，}&{x∈[\frac{1}{4}，1]}\\{4x+\frac{1}{4x}，}&{x∈[1，\frac{5}{4}]}\end{array}\right.$

${M}_{1}-{M}_{2}\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}-\frac{17}{4}，}&{x∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]}\\{-\frac{7}{4}，}&{x∈[\frac{1}{2}，1]}\\{\frac{5}{2}-（4x+\frac{1}{4x}），}&{x∈[1，\frac{5}{4}]}\end{array}\right.$；
${M}_{1}（x）-{M}_{2}（x）∈[-\frac{21}{10}，0]$
∴n≥0，$t≤-\frac{21}{10}$；
（3）（文）${h}_{1}（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，}&{x∈[\frac{1}{4}，1]}\\{2，}&{x∈[1，5]}\end{array}\right.$，${h}_{2}（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{17}{4}，}&{x∈[\frac{1}{4}，4]}\\{x+\frac{1}{x}，}&{x∈[4，5]}\end{array}\right.$；
${h}_{1}（x）-{h}_{2}（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}-\frac{17}{4}，}&{x∈[\frac{1}{4}，1]}\\{-\frac{9}{4}，}&{x∈[1，4]}\\{2-x-\frac{1}{x}，}&{x∈[4，5]}\end{array}\right.$，
∴$丨{h}_{1}（x）-{h}_{2}（x）丨∈[0，\frac{16}{5}]$，
∴$n≥\frac{16}{5}$．

点评 本题考查抽象函数的定义域的求法：知f（x）的定义域为[a，b]，求f（mx+n）的定义域只要解不等式a≤mx+n≤b即可、考查研究函数的单调区间时，若含参数一般需要讨论．分段函数的处理方法是先分再合的策略，属于难题．