Question

5．已知△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BC}$（0＜λ＜1），cosC=$\frac{3}{5}$，cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（I）若AC=5．BC=7，求AB的大小；
（Ⅱ）若AC=7，BD=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，$AC=5，BC=7，cosC=\frac{3}{5}$，这样根据余弦定理即可求出AB²的值，从而求出AB的大小；
（Ⅱ）可由cosC和cos∠ADC的值求出sinC和sin∠ADC的值，从而由sin∠DAC=sin（C+∠ADC）及两角和的正弦公式即可求出sin∠DAC的值，这样在△ACD中，由正弦定理即可求出DC的大小，从而得出BC的大小，这样由三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答 解：∵$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{BC}（0＜λ＜1）$，∴D在边BC上，且不与B，C重合，如图所示，

（Ⅰ）若AC=5，BC=7，∵$cosC=\frac{3}{5}$；
∴在△ABC中由余弦定理得：
AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC
=$25+49-2×5×7×\frac{3}{5}$
=32；
∴$AB=4\sqrt{2}$；
（Ⅱ）cosC=$\frac{3}{5}$，$cos∠ADC=\frac{\sqrt{2}}{10}$；
∴$sinC=\frac{4}{5}，sin∠ADC=\frac{7\sqrt{2}}{10}$；
∴sin∠DAC=sin[π-（C+∠ADC）]
=sin（C+∠ADC）
=sinCcos∠ADC+cosCsin∠ADC
=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{3}{5}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又AC=7；
∴在△ACD中由正弦定理得：$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$；
即$\frac{7}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}=\frac{DC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$；
∴DC=5；
∴BC=BD+DC=15；
∴${S}_{ABC}=\frac{1}{2}AC•BCsinC=\frac{1}{2}×7×15×\frac{4}{5}=42$．

点评 考查正余弦定理，sin²x+cos²x=1，三角形的内角和为π，三角函数的诱导公式，以及两角和的正弦公式，三角形的面积公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．