Question

20．设0＜x＜1，则函数y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$的值域为[4，+∞）．

Answer 1

分析 由已知可得0＜1-x＜1，可得y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=[x+（1-x）]（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$）=2+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{x}{1-x}$，整体利用基本不等式可得．

解答 解：∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1，
∴y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=[x+（1-x）]（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$）
=2+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{x}{1-x}$≥2+2$\sqrt{\frac{1-x}{x}•\frac{x}{1-x}}$=4，
当且仅当$\frac{1-x}{x}$=$\frac{x}{1-x}$即x=$\frac{1}{2}$时取等号，
故函数y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$的值域为[4，+∞），
故答案为：[4，+∞）．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．