Question

8．已知$|\overrightarrow a|=4，|\overrightarrow b|=3，（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$
（1）求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ；
（2）若$\vec c=t\vec a+（1-t）\vec b$，且$\vec b•\vec c=0$，求t及$|{\vec c}|$．

Answer 1

分析 （1）直接展开数量积，代入已知向量的模求得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ；
（2）由$\vec b•\vec c=0$列式求得t值，再由$|\overrightarrow{c}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$展开求得$|{\vec c}|$．

解答 解：（1）由$|\overrightarrow a|=4，|\overrightarrow b|=3，（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$，得
$4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3|\overrightarrow{b}{|}^{2}=61$，即4×${4}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3×{3}^{2}=61$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$，
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-6}{4×3}=-\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴$θ=\frac{2π}{3}$；
（2）∵$\vec c=t\vec a+（1-t）\vec b$，
∴$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}•[t\overrightarrow{a}+（1-t）\overrightarrow{b}]$=$t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+（1-t）|\overrightarrow{b}{|}^{2}=-15t+9=0$，
∴t=$\frac{3}{5}$，
则$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{25}|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\frac{12}{25}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{4}{25}|\overrightarrow{b}{|}^{2}}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，关键是掌握$|\overrightarrow{a}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}$，是中档题．