Question

14．在△ABC中，已知AB=AC，BC=2，点P在边BC上，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$的最小值为-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质，建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，将$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$转化为二次函数在区间上的值域，即可得到结论．

解答 解：∵在△ABC中，已知AB=AC，
∴取BC中点O建立如图所示的平面直角坐标系．
∵BC=2，
∴B（-1，0），C（1，0）．
设A（0，b），P（x，0），（-1≤x≤1）．
∴$\overrightarrow{PA}$=（-x，b），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，0），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-x（1-x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥-$\frac{1}{4}$．
当且仅当x=$\frac{1}{2}$时，取最小值．
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$的最小值为-$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，根据条件建立坐标系，利用向量数量积的坐标公式建立一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解是解决本题的关键．，解题时要注意变量x的取值范围．