Question

4．已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则平面四边形ABCD面积的最大值为2$\sqrt{30}$．

Answer 1

分析 在△ABC和△ACD中使用余弦定理求出cosB，cosD的关系，得出四边形的面积S关于sinB，sinD的函数表达式，利用余弦函数的性质求出S的最大值．

解答 解：设AC=x，在△ABC中，由余弦定理得：x²=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
同理，在△ADC中，由余弦定理得：x²=3²+5²-2×3×5cosD=34-30cosD，
∴15cosD-8cosB=7，①
又平面四边形ABCD面积为$S=\frac{1}{2}×2×4sinB+\frac{1}{2}×3×5sinD=\frac{1}{2}（8sinB+15sinD）$，
∴8sinB+15sinD=2S，②
①²+②²得：64+225+240（sinBsinD-cosBcosD）=49+4S²，
∴S²=60-60cos（B+D），
当B+D=π时，S取最大值$\sqrt{60+60}$=$2\sqrt{30}$．
故答案为：2$\sqrt{30}$．

点评 本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，余弦函数的最值，属于中档题．