Question

10．设各项为正数的无穷等比数列{a_n}的公比为q，若每一项都大于之后各项之和，则q的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都大于之后各项之和，得到0＜q＜1，且a＞$\frac{aq}{1-q}$，由此能求出q的取值范围．

解答 解：∵各项为正数的无穷等比数列{a_n}的公比为q，∴q＞0，
设数列中的任意一项为a，
∵无穷等比数列中的每一项都大于之后各项之和，
∴0＜q＜1，∴a＞$\frac{aq}{1-q}$，∴$\frac{q}{1-q}＜1$，
∴q＜1-q，解得q＜$\frac{1}{2}$．
∴0＜q＜$\frac{1}{2}$．
∴q的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查等比数列的公比的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．