Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（-5，+∞）．

Answer 1

分析 可求出向量$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$的坐标，根据$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$的夹角为锐角便可得出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）＞0$，从而进行向量数量积的坐标运算便可得出关于λ的不等式，解不等式即可得出实数λ的取值范围．

解答 解：$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}=（3-λ，4+2λ）$；
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$的夹角为锐角；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}|}＞0$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）=3（3-λ）+4（4+2λ）＞0$；
解得λ＞-5；
∴实数λ的取值范围是（-5，+∞）．
故答案为：（-5，+∞）．

点评 考查向量坐标的加法和数乘运算，向量夹角的余弦公式，知道锐角的余弦值大于0，以及向量数量积的坐标运算．