Question

6．若△ABC中三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{1+cosB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}b}{a}$．
（1）求角B；
（2）点D为BC的中点，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC=$\frac{6}{5}$，且sin∠BAD=$\frac{3}{5}$，求AC．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和已知条件可得$\frac{1+cosB}{\sqrt{3}}=sinB$，从而计算出B；
（2）在△ABD和△ABC中依次使用余弦定理求出AB，AC．

解答 解：（1）∵$\frac{1+cosB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}b}{a}$，∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\frac{1+cosB}{\sqrt{3}}}$，
又由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴$\frac{1+cosB}{\sqrt{3}}=sinB$．即$\sqrt{3}$sinB-cosB=1，sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$$＜\frac{5π}{6}$，∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ABD中，由余弦定理得：cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$=$\frac{A{B}^{2}+\frac{9}{25}-\frac{3}{4}}{\frac{6}{5}AB}$=$\frac{1}{2}$．
解得AB=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．
在△ABC中，由余弦定理得：AC=AB²+BC²-2AB•BCcosB=（$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$）²+$\frac{36}{25}$-2×$\frac{6}{5}×$$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{165-24\sqrt{3}}{100}$．
∴AC=$\frac{\sqrt{165-24\sqrt{3}}}{10}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．